2014数列高考题_2014年数学高考真题

1.某个数列的同项公式是An=(4/5)^nXn(n+1)..寻找最大值的一项,为什么只需证明Tn大于等于Tn-1和Tn+1

2.数列数列~~~~~~

3.高考数学数列

4.求 高考数列各种主要题型

5.高考数列题

6.高考在数列{An}中，A1=1,An=2[A(n-1)-1]+n（n大于等于2，且为正整数） 证明：数列{An+n}是等比数列.

解：

（1）若a2为偶数，则a3=(1/2)a2=1

∴a2=2（符合设的是偶数）

①若a1是偶数，则a2=(1/2)a1=2

∴a1=4（符合设的是偶数）

②若a1是奇数，则a2=a1-2×1=2

∴a1=4（不符合设）

（2）若a2为奇数，则a3=a2-2×2=1

∴a2=5（符合设的是奇数）

①若a1是偶数，则a2=(1/2)a1=5

∴a1=10（符合设的是偶数）

②若a1是奇数，则a2=a1-2×1=5

∴a1=7（符合设的是奇数）

∴综合以上，a1可取的值为4,10,7

某个数列的同项公式是An=(4/5)^nXn(n+1)..寻找最大值的一项,为什么只需证明Tn大于等于Tn-1和Tn+1

以下为 等差与等比数列和数列求和的基本方法和技巧 文本内容，如需完整请下载。

高考专题复习三——等差与等比数列

等差与等比数列是最重要且应用广泛的有通项公式的数列，在高考中占有重要地位，成为每年必考的重点内容，这部分内容的基础知识有：等差、等比数列的定义及通项公式，前几项和公式以及等差、等比数列的性质，在解决有关等差，等比数列问题时，要注意运用方程的思想和函数思想以及整体的观点，培养分析问题与解决问题的能力。

考纲要求：掌握等差数列与等比数列的概念，通项公式，前几项和公式并能运用知识解决一些问题。

一、知识结构与要点：

等差、等比数列的性质推广

定义

通项 —等差中项 abc成等差

基本概念 推广

前n项和

等差数列

当d>0(<0) 时{为递增（减）数列

当d=0时为常数

基本性质 与首末两端等距离的项之和均相等

成等差则也成等

定义:

通项 等比中项：a b c成等比数列

基本概念 推广

前n项和

等比数列

与首末两端等距离的两项之积相等

成等比，若 成等差 则 成等比

基本性质 当 或 时 {为递增数列

当 或 时 {为递减数列

当 q<0时 {为摆动数列

当 q=1时 {为常数数列

二、典型例题

例1．在等差数列中 求

解法一

那么

解法二：由

点评：在等差数列中，由条件不能具体求出和d，但可以求出 与d的组合式，而所求的量往往可以用这个组合式表示，那么用“整体代值”的方法将值求出

（2）利用：将所求量化为已知量也是“整体代值”的思想，它比用和 d表示更简捷。

例2．等差数列前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为

解法一 用方程的思想，由条件知

也成等数列

由②Χ2-①得

代入

解：在等差数列中由性质知 成等差数列

解法三 等差数列中

即为以为首项公差为的等差数列 依题意条件知

成等差

点评：三种解法从不同角度反映等差数列所具有的特性，运用方程的方法、性质或构造新的等差数列都是数列中解决问题的常用方法且有价值，对解决某些问题极为方便。

例3 在等比数列中 求

分析：在等比数列中对于 五个量一般“知三求二”其中首项5元比是关键，

因此

解法一

又

则

解法二: 而

代入 中得

故

点评：根据等比数列定义运用方程的方法解决数列问题常用解法二更为简捷。

例4．在等差数列 中 等比数列中

则

解：

点评：此题也可以把和d 看成两个未知数，通过 列方程，联立解之d= 。再求出 但计算较繁，运用计算较为方便。

例5．设等差数列 前n项和为已知

（1）求公差d的范围 （2）指出中哪一个值最大，并说明理由

解：（1）由题义有

由 则代入上式有

(2d<0 所以最小时最大 当时

所以 当n=6 时最小 故 最大

点评：本题解法体现了函数思想在处理数列问题中的运用，判断数列随N增大而变化规律的方法与判断函数增减性的方法相同。

例6 已知a>0 数列是首项5元比都为a的等比数列，(n如果数列中每一项总小于它后面的项，求a的取值范围。

解：由已知有 所以

因此由题意 对任意 成立 即

即 对任总成立，由 知

那么 由 a>0 知 或

即（Ⅰ） 或 （Ⅱ）

由Ⅰ知 a>1 中Ⅱ 为递增的函数 所以

故a的取值范围为或 a>1

点评：这是道数列与不等式综合的题目，既含有字母分类讨论又要运用极限的思想和函数最值的观点来解决问题，同时还要判断函数 的单调性，具有一定的综合性。

高考专题复习三——数列求和的基本方法和技巧

数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.

一、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.

等差数列求和公式：

2、等比数列求和公式：

3、

4、

5、

[例1] 已知，求的前n项和.

解：由 由等比数列求和公式得

（利用常用公式）＝＝＝1－

[例2] 设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值.

解：由等差数列求和公式得 ， （利用常用公式）

∴ ＝＝＝

∴当，即n＝8

二、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·　bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.

[例3] 求和：………………①

解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n－1}{}的通项之积

设……. ②（设制错位）

①－②得 （错位相减）

再利用等比数列的求和公式得：

∴

[例4] 求数列前n项的和.

解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积

设………………①

………………②（设制错位）

①－②得（错位相减）

∴

三、反序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.

[例5] 求证：

证明： 设………①

把①式右边倒转过来得

（反序）

又由可得 ……..②

①+②得 （反序相加）∴

[例6] 求的值

解：设…①

将①式右边反序得

…②（反序）

又因为 ①+②得（反序相加）

＝89 ∴ S＝44.5

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

[例7] 求数列的前n项和：，…

解：设 将其每一项拆开再重新组合得

（分组）

当a＝1＝（分组求和）

当时，＝

[例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.

解：设 ∴＝

将其每一项拆开再重新组合得

Sn＝（分组）＝＝（分组求和）＝

五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

（1） （2）

（3） （4）

（5）

(6)

[例9] 求数列的前n项和.

解：设 （裂项）

则 （裂项求和）

＝＝

[例10] 在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.

解：∵ ∴ （裂项）

∴ 数列{bn}的前n项和

（裂项求和）＝＝

[例11] 求证：

解：设

由 （裂项）

∴ （裂项求和）

＝

＝＝＝ ∴原等式成立

六、合并法求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.

[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.

解：设Sn＝ cos1 cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°

∵（找特殊性质项）

∴Sn＝cos1°+cos179°）+（cos2°+cos178°）+（cos3°+cos177°）+···+（cos89°+cos91°）+cos90°（合并求和）＝0

[例13] 数列{an}：，求S2002.

解：设S2002＝

由可得

……

∵（找特殊性质项）

∴S2002＝ （合并求和）

＝

＝

＝

＝5

[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若的值.

解：设

由等比数列的性质 （找特殊性质项）

和对数的运算性质 得

（合并求和）

＝

＝

＝10

七、利用数列的通项求和

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.

[例15] 求之和.

解：由于 （找通项及特征）

∴

＝（分组求和）

＝＝＝

[例16]已知数列{an}：的值.

解：∵ （找通项及特征）

＝（设制分组）

＝ （裂项）

∴ （分组、裂项求和）

＝＝

高考专题复习练习三——等差与等比数列

1(北京)已知数列中，，为数列的前n项和，且与的一个等比中项为，则的值为（ ）

（A） （B） （C） （D）1

2（黄冈）在等差数列{an}中，a1 + a2 + … + a50 = 200，a51 + a52 + … + a100 = 2700，则a1等于（ ）

（A）－1221 （B）－21.5 （C）－20.5 （D）－20

3（合肥）数列满足 若，则（ ）

(A) (B) (C) (D)

4（北京）在数列中，则此数列前4项之和为中， ，公差d<0，前n项和是，则有（ ）

（A） （B） （C） （D）

6(北京)等差数列{a n}中，已知，a2＋a5=4，a n =33，则n为（ ）

A、48 B、49 C、50 D、51

满足是首项为1，公比为2的等比数列，则_________________。

8、已知数，则的值依次是_________________，=___________________.

9、若数列满足，且，则的值为______________。

10、（天津）设数列是等差数列，且a2a4+a4a6+a6a2=1，，则a10 =____________．

11、在等差数列｛an｝中，a1=,第10项开始比1大，则公差d的取值范围是___________.

12、（本题满分14分）

已知函数f (x)=－3x＋3，x∈

(1)求f (x)的反函数y=g (x)；

(2)在数列{a n}中，a1=1，a2=g (a1)，a3=g (a2) ，…an=g (an－1)

求证：数列是等比数列. (3)解关于n的不等式：12分）

已知数列的首项（a是常数），（）．

（Ⅰ）是否可能是等差数列.若可能，求出的通项公式；若不可能，说明理由；

（Ⅱ）设，（），为数列的前n项和，且是等比数列，求实数a、b满足的条件．

高考专题复习练习三——等差与等比数列答案

1.D 2.C 3.B 4.A 5.A 6.C 7. 8. 1 9.102 10．

11.

数列数列~~~~~~

数列

本章是高考命题的主体内容之一，应切实进行全面、深入地复习，并在此基础上，突出解决下述几个问题：（1）等差、等比数列的证明须用定义证明，值得注意的是，若给出一个数列的前 项和 ，则其通项为 若 满足 则通项公式可写成 .（2）数列计算是本章的中心内容，利用等差数列和等比数列的通项公式、前 项和公式及其性质熟练地进行计算，是高考命题重点考查的内容.（3）解答有关数列问题时，经常要运用各种数学思想.善于使用各种数学思想解答数列题，是我们复习应达到的目标. ①函数思想：等差等比数列的通项公式求和公式都可以看作是 的函数，所以等差等比数列的某些问题可以化为函数问题求解.

②分类讨论思想：用等比数列求和公式应分为 及 ；已知 求 时，也要进行分类；

③整体思想：在解数列问题时，应注意摆脱呆板使用公式求解的思维定势，运用整

体思想求解.

（4）在解答有关的数列应用题时，要认真地进行分析，将实际问题抽象化，转化为数学问题，再利用有关数列知识和方法来解决.解答此类应用题是数学能力的综合运用，决不是简单地模仿和套用所能完成的.特别注意与年份有关的等比数列的第几项不要弄错.

一、基本概念：

1、 数列的定义及表示方法：

2、 数列的项与项数：

3、 有穷数列与无穷数列：

4、 递增（减）、摆动、循环数列：

5、 数列{an}的通项公式an：

6、 数列的前n项和公式Sn:

7、 等差数列、公差d、等差数列的结构：

8、 等比数列、公比q、等比数列的结构：

二、基本公式：

9、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=

10、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。

11、等差数列的前n项和公式：Sn= Sn= Sn=

当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式。

12、等比数列的通项公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k

(其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0)

13、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式)；

当q≠1时，Sn= Sn=

三、有关等差、等比数列的结论

14、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列。

15、等差数列{an}中，若m+n=p+q，则

16、等比数列{an}中，若m+n=p+q，则

17、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列。

18、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。

19、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列

{an bn}、 、 仍为等比数列。

20、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。

21、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。

22、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d

23、三个数成等比的设法：a/q,a,aq；

四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么？)

24、{an}为等差数列，则 (c0)是等比数列。

25、{bn}（bn0）是等比数列，则{logcbn} (c0且c 1) 是等差数列。

26. 在等差数列 中：

（1）若项数为 ，则

（2）若数为 则， ，

27. 在等比数列 中：

（1） 若项数为 ，则

（2）若数为 则，

四、数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。

28、分组法求数列的和：如an=2n+3n

29、错位相减法求和：如an=(2n-1)2n

30、裂项法求和：如an=1/n(n+1)

31、倒序相加法求和：如an=

32、求数列{an}的最大、最小项的方法：

① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3

② (an0) 如an=

③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an=

33、在等差数列 中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解：

(1)当 0,d0时，满足 的项数m使得 取最大值.

(2)当 0,d0时，满足 的项数m使得 取最小值。

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

基本数列是等差数列和等比数列

一、等差数列

一个等差数列由两个因素确定：首项a1和公差d.

得知以下任何一项，就可以确定一个等差数列（即求出数列的通项公式）：

1、首项a1和公差d

2、数列前n项和s(n),因为s(1)=a1,s(n)-s(n-1)=a(n)

3、任意两项a(n)和a(m)，n,m为已知数

等差数列的性质：

1、前N项和为N的二次函数（d不为0时）

2、a(m)-a(n)=(m-n)*d

3、正整数m、n、p为等差数列时，a(m)、a(n)、a(p)也是等差数列

二、等比数列

一个等比数列由两个因素确定：首项a1和公差d.

得知以下任何一项，就可以确定一个等比数列（即求出数列的通项公式）：

1、首项a1和公比r

2、数列前n项和s(n),因为s(1)=a1,s(n)-s(n-1)=a(n)

3、任意两项a(n)和a(m)，n,m为已知数

等比数列的性质：

1、a(m)/a(n)=r^(m-n)

2、正整数m、n、p为等差数列时，a(m)、a(n)、a(p)是等比数列

3、等比数列的连续m项和也是等比数列

即b(n)=a(n)+a(n+1)+...+a(n+m-1)构成的数列是等比数列。

三、数列的前N项和与逐项差

1、如果数列的通项公式是关于N的多项式，最高次数为P，则数列的前N项和是关于N的多项式，最高次数为P+1。

（这与积分很相似）

2、逐项差就是数列相邻两项的差组成的数列。

如果数列的通项公式是关于N的多项式，最高次数为P，则数列的逐项差的通项公式是关于N的多项式，最高次数为P-1。

（这与微分很相似）

等比数列的逐项差还是等比数列

四、已知数列通项公式A（N），求数列的前N项和S（N）。

这个问题等价于求S（N）的通项公式，而S（N）=S（N-1）+A（N），这就成为递推数列的问题。

解法是寻找一个数列B（N），

使S（N）+B（N）=S（N-1）+B（N-1）

从而S（N）=A（1）+B（1）-B（N）

猜想B（N）的方法：把A（N）当作函数求积分，对得出的函数形式设待定系数，利用B（N）-B（N-1）=-A（N）求出待定系数

高考数学数列

证法1、

设an=(1+1/3)*(1+1/5)*(1+1/7+*…*[1+1/(2n-1)],

bn=(1+1/4)*(1+1/6)*(1+1/8)+*…*[1+1/(2n)].

显然an>bn.

an=(4/3)*(6/5)*(8/7)*...*[2n/(2n-1)];

bn=(5/4)*(7/6)*(9/8)*...*[(2n+1)/(2n)].

而(an)^2>an*bn=(2n+1)/3>(2n+1)/4.

故an(1+1/3)*(1+1/5)*(1+1/7)*…*[1+1/(2n-1)]>[√(2n+1)]/2.

证法2、://wenwen.soso/z/q148942658.htm

证法3、://blog.xkyn/neirong-shenme-dui-wangzhan-shenme-jingyan-ziliao-hao-ziliao-.html

高考常用：

比较法：比较两个式子的大小，求差或求商。是最基本最常用的方法

综合法：用到了均值不等式的知识，一定要注意的是何时等号才成立。

分析法：当无法从条件入手时，就用分析法去思考，但还是要用综合法去证明。两个方法是密不可分的。

换元法：把不等式想象成三角函数，方便思考

反证法：设不成立，但是不成立时又无法解出本题，于是成立

放缩法：

用柯西不等式证。等等……

最好不要用课外不等式：万一你用的不对的话，老师看不懂，直接打错，要是你有能力就用吧

课外不等式：

这个好多啊

我就打十个吧

柯西不等式（这样算课外吧，因为选修部分讲的内容很少）

jacobsthal不等式

不等式

hǒlder不等式

胡克不等式

kober不等式

carlson不等式

递归不等式

排序不等式

三角不等式

琴生不等式

匿了 但是还是希望纳加分啊 O(∩_∩)O谢谢

求 高考数列各种主要题型

a1=1,a(n+1)=an+1/an

（1）不知道要证明啥

（2）证明√(2n-1)≤an≤√(3n-2)

（3）求正整数m使得|a2017-m|最小

（2）

经验证n=1，2，3，4时不等式都成立，设当n=N时不等式成立，即√(2N-1)≤aN≤√(3N-2)，则2N-1≤aN^2≤3N-2。

则当n=N+1时，2(N+1)-1<2N-1+2+1/(3N-2)≤a(N+1)^2=aN^2+1/aN^2+2≤3N-2+2+1/(2N-1)≤3N-2+2+1=3(N+1)-2

所以√[2(N+1)-1]≤a(N+1)≤√[3(N+1)-2]

所以当n=N+1时，不等式也成立。即对于任意正整数n，都有√(2n-1)≤an≤√(3n-2)。

（3）

由（2）可知√3969=63<√4033≤a2017≤√6049<78=√6084,

为了方便，我们把a2017往回走遍历a2016，a2015，...，an的做法叫下行，而往前遍历a2018，a2019，...，ak的做法叫上行。

1/78<a2017-a2016=1/a2016<1/63,1/78<a2018-a2017=1/a2017<1/63

则上两式表明下行时最多不超过78次，an的值就要比a2017减小1；而上行时，最少要63次ak的值才比a2017增加1.因为下行时an减小的速度会越来越快，而上行时增加的速度会越来越慢。

现在来看a(2017-78)=a1939和a(2017+63)=a2080的情况

62<√3877≤a1939≤√5815<77，64<√4159≤a2080≤√6238<79

4033≤a2017^2≤6049

4033=3n-2,n=1345;6049=2n-1,n=3025,3025-1345=1680

则2689≤a1345^2≤4033,6049≤a3025^2≤9073,6049-2689=3360=1680*2,下限不计

2691≤a1346^2≤4036,6047≤a3024^2≤9070

1/4033+2≤a1346^2-a1345^2=1/a1345^2+2≤1/2689+2

1/9070+2≤a3025^2-a3024^2=1/a3024^2+2≤1/6047+2

2017-1345=672,上限为4033+672*2=5377,672/4033<误差<672/2689

3025-2017=1008，下限为6049-1008*2=4033

3025-1345=1680,4033+1680*2=7393，7393-1008*2=5377

2689=3n-2，n=8，1793≤a8^2≤2689，1795≤a898^2≤2692，

2+1/2689≤a898^2-a8^2=1/a8^2+2≤2+1/1793

2017-8=1120,2689+1120*2=4929=a2017^2上限，1120/2689<误差<1120/1793

1793=3n-2,n=599,11≤a599^2≤1795,

2+1/1795≤a600^2-a599^2=2+1/a599^2≤2+1/11

2017-599=1418,1795+1418*2=4633=a2017^2上限，1428/1795<误差<1418/11

11+1=3n-2,n=400,799≤a400^2≤1198,

2+1/1198≤a401^2-a400^2=2+1/a400^2≤2+1/799

2017-400=1617,1201+1617*2=4435=a2017^2上限，1617/1198<误差<1616/799

799=3n-2,n=267,533≤a267^2≤799,

2+1/799≤a268^2-a267^2=2+1/a267^2≤2+1/533

2017-267=1750,799+1750*2=4299=a2017^2上限，1750/799<误差<1750/533

533+1=3n-2,n=179,357≤a179^2≤535,

2+1/535≤a268^2-a267^2=2+1/a267^2≤2+1/357

2017-179=1750,535+1838*2=4211=a2017^2上限，1838/535<误差<1838/357

359-1=3n-2,n=120,239≤a120^2≤358,

2+1/358≤a121^2-a120^2=2+1/a120^2≤2+1/239

2017-120=1750,358+18*2=4152=a2017^2上限，4<18/358<误差<18/239<8

到此终于可以结束了，因为a2017^2上限4152即使加上最大误差8开方后也小于64.5，

而a2017^2下限4033开方后大于63.5，所以m=64.

高考数列题

求数列通项公式的常规思想方法列举（配典型例题）

数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。

一． 观察法

例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：

（1）9，99，999，9999，…

（2）

（3）

（4）

解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，……

∴通项公式为：

（2） （3） （4） .

观察各项的特点，关键是找出各项与项数n的关系。

二、定义法

例2： 已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f (x) = (x－1)2，且a1 = f (d－1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q－1)，

(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式；

解：(1)∵a 1=f (d－1) = (d－2)2，a 3 = f (d+1)= d 2，

∴a3－a1=d2－(d－2)2=2d，

∴d=2，∴an=a1+(n－1)d = 2(n－1)；又b1= f (q+1)= q2，b3 =f (q－1)=(q－2)2，

∴ =q2，由q∈R，且q≠1，得q=－2，

∴bn=b?qn－1=4?(－2)n－1

当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。

三、 叠加法

例3：已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项。

解 易知

∵

……

各式相加得 ∴

一般地，对于型如 类的通项公式，只要 能进行求和，则宜用此方法求解。

四、叠乘法

例4：在数列｛ ｝中， =1, (n+1)? =n? ，求 的表达式。

解：由(n+1)? =n? 得 ，

= … = 所以

一般地，对于型如 = (n)? 类的通项公式，当 的值可以求得时，宜用此方法。

五、公式法

若已知数列的前 项和 与 的关系，求数列 的通项 可用公式

求解。

例5：已知下列两数列 的前n项和sn的公式，求 的通项公式。

（1） 。 （2）

解： （1）

= = =3

此时， 。∴ =3 为所求数列的通项公式。

（2） ，当 时

由于 不适合于此等式 。 ∴

注意要先分n=1和 两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。

例6. 设数列 的首项为a1=1，前n项和Sn满足关系

求证：数列 是等比数列。

解析：因为

所以

所以，数列 是等比数列。

六、阶差法

例7.已知数列 的前 项和 与 的关系是

，其中b是与n无关的常数，且 。

求出用n和b表示的an的关系式。

解析：首先由公式： 得：

利用阶差法要注意：递推公式中某一项的下标与其系数的指数的关系，即

其和为 。

七、待定系数法

例8：设数列 的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c1=2，c2=4，c3=7，c4=12，求通项公式cn

解：设

点评：用待定系数法解题时，常先定通项公式或前n项和公式为某一多项式，一般地，若数列 为等差数列：则 ， （b、c为常数），若数列 为等比数列，则 ， 。

八、 数列法

有些数列本身并不是等差或等比数列，但可以经过适当的变形，构造出一个新的数列为等差或等比数列，从而利用这个数列求其通项公式。

例9.在数列 中， ， ， ，求 。

解析：在 两边减去 ，得

∴ 是以 为首项，以 为公比的等比数列，

∴ ，由累加法得

=

= … = =

=

例10.（2003年全国高考题）设 为常数，且 （ ），

证明：对任意n≥1，

证明：设，

用 代入可得

∴ 是公比为 ，首项为 的等比数列，

∴ （ ），

即：

型如an+1=pan+f(n) (p为常数且p≠0, p≠1)可用转化为等比数列等.

(1)f(n)= q (q为常数)，可转化为an+1+k=p(an+k)，得{ an+k }是以a1+k为首项，p为公比的等比数列。

例11：已知数 的递推关系为 ，且 求通项 。

解：∵ ∴

令

则数列 是公比为2的等比数列

∴ 即 ∴

例12： 已知数列｛ ｝中 且 （ ），，求数列的通项公式。

解：∵

∴ ， 设 ，则

故｛ ｝是以 为首项，1为公差的等差数列

∴ ∴

例13.（07全国卷Ⅱ理21）设数列 的首项 ．

（1）求 的通项公式；

解：（1）由

整理得 ．

又 ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，得

注：一般地，对递推关系式an+1=pan+q (p、q为常数且，p≠0，p≠1)可等价地改写成

则{ }成等比数列，实际上，这里的 是特征方程x=px+q的根。

(2) f(n)为等比数列，如f(n)= qn (q为常数) ，两边同除以qn，得 ，令bn= ，可转化为bn+1=pbn+q的形式。

例14.已知数列{an}中，a1= ， an+1= an+（ ）n+1，求an的通项公式。

解：an+1= an+（ ）n+1 乘以2n+1 得 2n+1an+1= (2nan)+1 令bn=2nan 则 bn+1= bn+1

易得 bn= 即 2nan=

∴ an=

(3) f(n)为等差数列

例15.已知已知数列{an}中，a1=1，an+1+an=3+2 n，求an的通项公式。

解：∵ an+1+an=3+2 n，an+2+an+1=3+2(n+1)，两式相减得an+2-an=2

因此得，a2n+1=1+2(n-1), a2n=4+2(n-1), ∴ an= 。

注：一般地，这类数列是递推数列的重点与难点内容，要理解掌握。

(4) f(n)为非等差数列，非等比数列

例16.（07天津卷理）在数列 中， ，其中 ．

（Ⅰ）求数列 的通项公式；

解：由 ， ，

可得 ，

所以 为等差数列，其公差为1，首项为0，故 ，所以数列 的通项公式为 ．

这种方法类似于换元法, 主要用于已知递推关系式求通项公式。

九、归纳、猜想

如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。

例17.（2002年北京春季高考）已知点的序列 ，其中 ， ， 是线段 的中点， 是线段 的中点，…， 是线段 的中点，…

（1） 写出 与 之间的关系式（ ）。

（2） 设 ，计算 ，由此推测 的通项公式，并加以证明。

（3） 略

解析：（1）∵ 是线段 的中点， ∴

（2） ，

= ，

= ，

猜想 ，下面用数学归纳法证明

当n=1时， 显然成立；

设n=k时命题成立，即

则n=k+1时， =

=

∴ 当n=k+1时命题也成立，∴ 命题对任意 都成立。

例18：在数列｛ ｝中， ，则 的表达式为 。

分析：因为 ，所以得： ，

猜想： 。

十、倒数法

数列有形如 的关系，可在等式两边同乘以 先求出

例19．设数列 满足 求

解：原条件变形为 两边同乘以 得 .

∵

∴

综而言之，等差、等比数列是两类最基本的数列，是数列部分的重点，自然也是高考考查的热点，而考查的目的在于测试灵活运用知识的能力，这个“灵活”往往集中在“转化”的水平上；以上介绍的仅是常见可求通项基本方法,同学们应该在学习不断的探索才能灵活的应用.只要大家认真的分析求通项公式并不困难.

高考在数列{An}中，A1=1,An=2[A(n-1)-1]+n（n大于等于2，且为正整数） 证明：数列{An+n}是等比数列.

1．(必修5 P68复习参考题B组T1改编)在公比大于1的等比数列{an}中，a3a7＝72，a2＋a8＝27，则a12＝(　　)

A．96　　　　　　　　 B．64

C．72 D．48

A　[解析] 由题意及等比数列的性质知a3a7＝a2a8＝72，又a2＋a8＝27，

所以a2，a8是方程x2－27x＋72＝0的两个根，

所以a8＝3，(a2＝24，)或a8＝24，(a2＝3，)又公比大于1，

所以a8＝24，(a2＝3，)所以q6＝8，即q2＝2，

所以a12＝a2q10＝3×25＝96.

2．(必修5 P58练习T2改编)等比数列{an}的前n项之和为Sn，S5＝10，S10＝50，则S15的值为(　　)

A．60 B．110

C．160 D．210

D　[解析] 由等比数列前n项和性质知，S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，即(S10－S5)2＝S5(S15－S10)，

所以S15＝S5(（S10－S5）2)＋S10

＝10(（50－10）2)＋50＝210.故选D.

3．(必修5 P39练习T5改编)设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有Tn(Sn)＝4n－3(2n－3)，则b5＋b7(a9)＋b8＋b4(a3)的值为________．

[解析] 因为{an}，{bn}为等差数列，所以b5＋b7(a9)＋b8＋b4(a3)＝2b6(a9)＋2b6(a3)＝2b6(a9＋a3)＝b6(a6).

因为T11(S11)＝b1＋b11(a1＋a11)＝2b6(2a6)＝4×11－3(2×11－3)＝41(19)，

所以b5＋b7(a9)＋b8＋b4(a3)＝41(19).

[答案] 41(19)

4．(必修5 P45练习T3，P47习题2.3B组T4联合改编)集合M＝{m|m＝2n，n∈N*}共有n个元素，其和为Sn，则(100)Si(1)＝________．

[解析] 由m＝2n(n∈N*)知集合M中的元素从小到大构成首项a1＝2，公差d＝2的等差数列．

所以Sn＝n×2＋2(n（n－1）)×2＝n2＋n＝n(n＋1)．

所以(100)Si(1)＝1×2(1)＋2×3(1)＋…＋100×101(1)

＝1－2(1)＋2(1)－3(1)＋…＋100(1)－101(1)＝1－101(1)＝101(100).

[答案] 101(100)

5．(必修5 P44例2改编)等差数列{an}的前n项之和为Sn，且a5＝28，S10＝310.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)记函数f(n)＝Sn，(n∈N*)，A(n，f(n))，B(n＋1，f(n＋1))，C(n＋2，f(n＋2))是函数f(n)上的三点，求证△ABC的面积为定值，并求出其定值．

[解] (1)因为a5＝28，S10＝310.

所以d＝310，(10×9)

解得a1＝4，d＝6.

所以an＝4＋(n－1)×6＝6n－2.

(2)由(1)知Sn＝4n＋2(n（n－1）)×6＝3n2＋n.

所以A，B，C的坐标分别为(n，3n2＋n)，(n＋1，3(n＋1)2＋(n＋1))，(n＋2，3(n＋2)2＋n＋2)．

所以△ABC的面积S＝2(1)[(3n2＋n)＋3(n＋2)2＋(n＋2)]×2－2(1)[(3n2＋n)＋3(n＋1)2＋(n＋1)]×1－12[3(n＋1)2＋(n＋1)＋3(n＋2)2＋(n＋2)]×1

＝(6n2＋14n＋14)－(3n2＋4n＋2)－(3n2＋10n＋9)

＝3.

即△ABC的面积为定值3.

证明:两边同时加n得：An+n=2A(n-1)-2+2n

即An+n=2A(n-1)+2（n-1）

所以得（An+n）/[A(n-1)+（n-1）]=2

所以{An+n}是以2为首项，2为公比的等比数列

（1）an+n=2的n次幂

an=2的n次幂-n

(2)sn=2+2的2次+2的三次+...+2的n次—（1+2+3+4+....+n）

=2（2的n次-1）-1/2·n(1+n)