高考抽象函数,高考抽象函数真题研究

1.怎样证明一个函数为周期函数

2.高中高考数学的那些抽象函数怎么学的？好难喔！请会的进进好吗？

3.在高考中如何运用极限思想方法和抽象函数以及二项分布的技巧来快速解决小题

4.怎么学抽象函数

5.关于高一必修一的重点函数题型

6.高考数学导数解题技巧

抽象函数问题的题型综述

一. 求某些特殊值

这类抽象函数一般给出定义域，某些性质及运算式而求特殊值。其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化。

例1 定义在R上的函数 满足： 且 ，求 的值。

解：由 ，

以 代入，有 ，

为奇函数且有

又由

故 是周期为8的周期函数，

例2 已知函数 对任意实数 都有 ，且当 时，

，求 在 上的值域。

解：设

且 ，

则 ，

由条件当 时，

又

为增函数，

令 ，则

又令

得

，

故 为奇函数，

，

上的值域为

二. 求参数范围

这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“ ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。

例3 已知 是定义在（ ）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足 ，试确定 的取值范围。

解： 是偶函数，且在（0，1）上是增函数，

在 上是减函数，

由 得 。

（1）当 时，

，不等式不成立。

（2）当 时，

（3）当 时，

综上所述，所求 的取值范围是 。

例4 已知 是定义在 上的减函数，若 对 恒成立，求实数 的取值范围。

解：

对 恒成立

对 恒成立

对 恒成立，

三. 解不等式

这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数符号“ ”，转化为代数不等式求解。

例5 已知函数 对任意 有 ，当 时， ， ，求不等式 的解集。

解：设 且

则

，

即 ，

故 为增函数，

又

因此不等式 的解集为 。

四. 证明某些问题

例6 设 定义在R上且对任意的 有 ，求证： 是周期函数，并找出它的一个周期。

分析：这同样是没有给出函数表达式的抽象函数，其一般解法是根据所给关系式进行递推，若能得出 （T为非零常数）则 为周期函数，且周期为T。

证明：

得

由（3）得

由（3）和（4）得 。

上式对任意 都成立，因此 是周期函数，且周期为6。

例7 已知 对一切 ，满足 ，且当 时， ，求证：（1） 时， （2） 在R上为减函数。

证明： 对一切 有 。

且 ，令 ，得 ，

现设 ，则 ， ，

而

，

设 且 ，

则

即 为减函数。

五. 综合问题求解

抽象函数的综合问题一般难度较大，常涉及到多个知识点，抽象思维程度要求较高，解题时需把握好如下三点：一是注意函数定义域的应用，二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“ ”前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数符号“ ”。

例8 设函数 定义在R上，当 时， ，且对任意 ，有 ，当 时 。

（1）证明 ；

（2）证明： 在R上是增函数；

（3）设 ，

，若 ，求 满足的条件。

解：（1）令 得 ，

或 。

若 ，当 时，有 ，这与当 时， 矛盾，

。

（2）设 ，则 ，由已知得 ，因为 ， ，若 时， ，由

（3）由 得

由 得 （2）

从（1）、（2）中消去 得 ，因为

，

即

例9 定义在（ ）上的函数 满足（1），对任意 都有 ，

（2）当 时，有 ，

（1）试判断 的奇偶性；（2）判断 的单调性；

（3）求证 。

分析：这是一道以抽象函数为载体，研究函数的单调性与奇偶性，再以这些性质为基础去研究数列求和的综合题。

解：（1）对条件中的 ，令 ，再令 可得

，所以 是奇函数。

（2）设 ，则

，

，由条件（2）知 ，从而有 ，即 ，故 上单调递减，由奇函数性质可知， 在（0，1）上仍是单调减函数。

（3）

抽象函数问题分类解析

我们将没有明确给出解析式的函数称为抽象函数。近年来抽象函数问题频频出现于各类考试题中，由于这类问题抽象性强，灵活性大，多数同学感到困惑，求解无从下手。本文试图通过实例作分类解析，供学习参考。

1. 求定义域

这类问题只要紧紧抓住：将函数 中的 看作一个整体，相当于 中的x这一特性，问题就会迎刃而解。

例1. 函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是___。

分析：因为 相当于 中的x，所以 ，解得

或 。

例2. 已知 的定义域为 ，则 的定义域是______。

分析：因为 及 均相当于 中的x，所以

(1)当 时，则

(2)当 时，则

2. 判断奇偶性

根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求 与 的关系。

例3. 已知 的定义域为R，且对任意实数x，y满足 ，求证： 是偶函数。

分析：在 中，令 ，

得

令 ，得

于是

故 是偶函数。

例4. 若函数 与 的图象关于原点对称，求证：函数

是偶函数。

证明：设 图象上任意一点为P（ ）

与 的图象关于原点对称，

关于原点的对称点 在 的图象上，

又

即对于函数定义域上的任意x都有 ，所以 是偶函数。

3. 判断单调性

根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。

例5. 如果奇函数 在区间 上是增函数且有最小值为5，那么 在区间 上是

A. 增函数且最小值为 B. 增函数且最大值为

C. 减函数且最小值为 D. 减函数且最大值为

分析：画出满足题意的示意图1，易知选B。

图1

例6. 已知偶函数 在 上是减函数，问 在 上是增函数还是减函数，并证明你的结论。

分析：如图2所示，易知 在 上是增函数，证明如下：

任取

因为 在 上是减函数，所以 。

又 是偶函数，所以

，

从而 ，故 在 上是增函数。

图2

4. 探求周期性

这类问题较抽象，一般解法是仔细分析题设条件，通过类似，联想出函数原型，通过对函数原型的分析或赋值迭代，获得问题的解。

例7. 设函数 的定义域为R，且对任意的x，y有

，并存在正实数c，使 。试问 是否为周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由。

分析：仔细观察分析条件，联想三角公式，就会发现： 满足题设条件，且 ，猜测 是以2c为周期的周期函数。

故 是周期函数，2c是它的一个周期。

5. 求函数值

紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。

例8. 已知 的定义域为 ，且 对一切正实数x，y都成立，若 ，则 _______。

分析：在条件 中，令 ，得

，

又令 ，

得 ，

例9. 已知 是定义在R上的函数，且满足： ，

，求 的值。

分析：紧扣已知条件，并多次使用，发现 是周期函数，显然 ，于是

，

所以

故 是以8为周期的周期函数，从而

6. 比较函数值大小

利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内，然后利用其单调性使问题获解。

例10. 已知函数 是定义域为R的偶函数， 时， 是增函数，若 ， ，且 ，则 的大小关系是_______。

分析： 且 ，

又 时， 是增函数，

是偶函数，

故

7. 讨论方程根的问题

例11. 已知函数 对一切实数x都满足 ，并且 有三个实根，则这三个实根之和是_______。

分析：由 知直线 是函数 图象的对称轴。

又 有三个实根，由对称性知 必是方程的一个根，其余两根 关于直线 对称，所以 ，故 。

8. 讨论不等式的解

求解这类问题利用函数的单调性进行转化，脱去函数符号。

例12. 已知函数 是定义在 上的减函数，且对一切实数x，不等式 恒成立，求k的值。

分析：由单调性，脱去函数记号，得

由题意知(1)(2)两式对一切 恒成立，则有

9. 研究函数的图象

这类问题只要利用函数图象变换的有关结论，就可获解。

例13. 若函数 是偶函数，则 的图象关于直线_______对称。

分析： 的图象 的图象，而 是偶函数，对称轴是 ，故 的对称轴是 。

例14. 若函数 的图象过点（0，1），则 的反函数的图象必过定点______。

分析： 的图象过点（0，1），从而 的图象过点 ，由原函数与其反函数图象间的关系易知， 的反函数的图象必过定点 。

10. 求解析式

例15. 设函数 存在反函数， 与 的图象关于直线 对称，则函数

A. B. C. D.

分析：要求 的解析式，实质上就是求 图象上任一点 的横、纵坐标之间的关系。

点 关于直线 的对称点 适合 ，即 。

又 ，

即 ，选B。

抽象函数的周期问题

——由一道高考题引出的几点思考

2001年高考数学（文科）第22题：设 是定义在 上的偶函数，其图象关于直线 对称。对任意 都有 。

（I）设 求 ；

（II）证明 是周期函数。

解析：（I）解略。

（II）证明：依题设 关于直线 对称

故

又由 是偶函数知

将上式中 以 代换，得

这表明 是 上的周期函数，且2是它的一个周期

是偶函数的实质是 的图象关于直线 对称

又 的图象关于 对称，可得 是周期函数

且2是它的一个周期

由此进行一般化推广，我们得到

思考一：设 是定义在 上的偶函数，其图象关于直线 对称，证明 是周期函数，且 是它的一个周期。

证明： 关于直线 对称

又由 是偶函数知

将上式中 以 代换，得

是 上的周期函数

且 是它的一个周期

思考二：设 是定义在 上的函数，其图象关于直线 和 对称。证明 是周期函数，且 是它的一个周期。

证明： 关于直线 对称

将上式的 以 代换得

是 上的周期函数

且 是它的一个周期

若把这道高考题中的“偶函数”换成“奇函数”， 还是不是周期函数？经过探索，我们得到

思考三：设 是定义在 上的奇函数，其图象关于直线 对称。证明 是周期函数，且4是它的一个周期。，

证明： 关于 对称

又由 是奇函数知

将上式的 以 代换，得

是 上的周期函数

且4是它的一个周期

是奇函数的实质是 的图象关于原点（0，0）中心对称，又 的图象关于直线 对称，可得 是周期函数，且4是它的一个周期。由此进行一般化推广，我们得到

思考四：设 是定义在 上的函数，其图象关于点 中心对称，且其图象关于直线 对称。证明 是周期函数，且 是它的一个周期。

证明： 关于点 对称

关于直线 对称

将上式中的 以 代换，得

是 上的周期函数

且 是它的一个周期

由上我们发现，定义在 上的函数 ，其图象若有两条对称轴或一个对称中心和一条对称轴，则 是 上的周期函数。进一步我们想到，定义在 上的函数 ，其图象如果有两个对称中心，那么 是否为周期函数呢？经过探索，我们得到

思考五：设 是定义在 上的函数，其图象关于点 和 对称。证明 是周期函数，且 是它的一个周期。

证明： 关于 对称

将上式中的 以 代换，得

是周期函数

且 是它的一个周期

怎样证明一个函数为周期函数

不会占很大比例，这是大学学习的一部分，抽象涵数在高中出现，是为了检测对涵数的掌握情况，是给于高中生自己的一种挑战，作为高考，出现的比例也小，一般在选择和填空出现，难度也不会太大，对于抽象涵数不必负出大量时间在其上。

高中高考数学的那些抽象函数怎么学的？好难喔！请会的进进好吗？

证明f（x+T）=f（x）即可。

周期函数的判定方法分为以下几步：

（1）判断f（x）的定义域是否有界；

例：f（x）=cosx（≤10）不是周期函数。

（2）根据定义讨论函数的周期性可知非零实数T在关系式f（x+T）= f（x）中是与x无关的，故讨论时可通过解关于T的方程f（x+T）- f（x）=0，若能解出与x无关的非零常数T便可断定函数f（x）是周期函数，若这样的T不存在则f（x）为非周期函数。

例：f（x）=cosx^2 是非周期函数。

（3）一般用反证法证明。（若f（x）是周期函数，推出矛盾，从而得出f（x）是非周期函数）。

例：证f（x）=ax+b(a≠0）是非周期函数。

证：设f（x）=ax+b是周期函数，则存在T（≠0），使之成立 ，a（x+T）+b=ax+b ax+aT-ax=0，aT=0 又a≠0，

∴T=0与T≠0矛盾，

∴f（x）是非周期函数。

扩展资料：

对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。

事实上，任何一个常数kT（k∈Z，且k≠0）都是它的周期。并且周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。

周期函数的性质共分以下几个类型：

（1）若T（≠0）是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期。

（2）若T（≠0）是f（x）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f（x）的周期。

（3）若T1与T2都是f（x）的周期，则T1±T2也是f（x）的周期。

（4）若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。

（5）若T1、T2是f（x）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f（x）不存在最小正周期。

（6）周期函数f（x）的定义域M必定是至少一方无界的集合。

若f（x）是集M上以T*为最小正周期的周期函数，则f（ax+n）是集{x|ax+b∈M}上的以T*/ a为最小正周期的周期函数，（其中a、b为常数）。

证：

先证f（ax+b）的周期。

∵T*是f（x）的周期，

∴f（x±T*）=f（x），有X±T*∈M，以ax+b替换x得，f（ax±T*+b）=f（ax+b），此时ax+b∈M，提取a为公因式得，f[a（x+T*/a）+b]=f（ax+b）

∴T*/a是f（ax+b）的周期。

再证是f（ax+b）的最小正周期。

设存在T’/a（0<T’<T*；）是f（ax+b）的周期，则f（a（x+T’/a）+b）=f（ax+b），用x/a-b/a替换x，得f（x+T’）=f（x）

∴T’是f（x）的周期，但 T’<T*这与T*是f（x）的最小正周期矛盾。

∴不存在T’/a（0<T’<T*；）是f（ax+b）的周期，即f（ax+b）的最小正周期为T*/ a。

百度百科——周期函数

在高考中如何运用极限思想方法和抽象函数以及二项分布的技巧来快速解决小题

函数性质你都是记的吧？每一个性质都去想想为什么，不要怕耗费时间，这些问题解决了，提到某条性质，你思考一下就可以自信的说对，那么这些函数都没什么可怕的了。在整个高中课程中，抽象函数的考察并不复杂，把基本的函数理解透彻，就可以不变应万变了。恭祝你的成绩有效提高！

怎么学抽象函数

极限顾名思义就是要极端设 高考的抽象函数你只要记得下面几个关系搓搓有余了。

1、若函数f（x） 的定义域为R ，且 f（x+a）=f（x-b)恒成立，则函数 是以T=a+b 为周期的周期函数；

2、若函数 f（x）的定义域为 R ，且 f（x+a）=f（x-b）恒成立，则函数f（x） 的图象关于直线X

=（a+b）/2 对称；

3、若函数f（x） 的定义域为 R ，且 f（x+a）=-f（x-b)恒成立，则函数 f（x）的图象关于点 {(A+B)/2,0}对称；

4、若函数f（x） 的定义域为 R ，且 f（x+a）=-f（x-b) 恒成立，则函数f（x） 是以 2(a+b)为周期的周期函数；

5、若函数 f（x）的定义域为R ，则函数f(a+x) 与f(b-x) 的图象关于直线 对称；等等.....

告诉我邮箱，发给你

关于高一必修一的重点函数题型

函数其实在初中的时候就已经讲过了，当然那时候是最简单的一次和二次，而整个高中函数最富有戏剧性的函数实际上也就是二次函数，学好函数总的策略是掌握每一种函数的性质，这样就可以运用自如，有备无患了。函数的性质一般有单调性、奇偶性、有界性及周期性。能够完美体现上述性质的函数在中学阶段只有三角函数中的正弦函数和余弦函数。以上是函数的基本性质，通过奇偶性可以衍生出对称性，这样就和二次函数联系起来了，事实上，二次函数可以和以上所有性质联系起来，任何函数都可以，因为这些性质就是在大量的基本函数中抽象出来为了更加形象地描述它们的。我相信这点你定是深有体会。剩下的幂函数、指数函数对数函数等等本身并不复杂，只要抓住起性质，例如对数函数的定义域，指数函数的值域等等，出题人可以大做文章，答题人可以纵横捭阖畅游其中。性质是函数最本质的东西，世界的本质就是简单，复杂只是起外在的表现形式，函数能够很好到体现这点。另外，高三还要学导数，学好了可以帮助理解以前的东西，学不好还会扰乱人的思路，所以，我建议你去预习，因为预习绝对不会使你落后，我最核心的学习经验就是预习，这种方法使我的数学远远领先其它同学而立于不败之地。

综上，在学习函数的过程中，你要抓住其性质，而反馈到学习方法上你就应该预习（有能力的话最好能够自学）

。函数是高考重点中的重点，也就是高考的命题当中确实含有以函数为纲的思想，怎样学好函数主要掌握以下几点。第一，要知道高考考查的六个重点函数，一，指数函数；二，对数函数；三，三角函数；四，二次函数；五，最减分次函数；六，双勾函数Y＝X＋A/X(A＞0)。要掌握函数的性质和图象，利用这些函数的性质和图象来解题。另外，要总结函数的解题方法，函数的解题方法主要有三种，第一种方法是基本函数法，就是利用基本函数的性质和图象来解题；第二种方法是构造函数；第三种方法是函数建模法。要特别突出函数与方程的思想，数形结合思想。

高一函数解题思路

1，首先把握定义和题目的叙述

2，记住一次函数与坐标轴的交点坐标，必须很熟

3，掌握问题的叙述，通法通则是连立方程（当然是有交点的情况）

一般我们解题时 可以先考虑我们学习过与本题目相似的函数的函数,比如本题可以考虑对数函数,帮助我们解决问题,猜测出结论再做,总要方便一些的

高考数学导数解题技巧

函数是每年高考的热点，而抽象函数性质的运用又是函数的难点之一。抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则。此类函数试题既能全面地考查学生对函数概念的理解及性质的代数推理和论证能力，又能综合考查学生对数学符号语言的理解和接受能力，以及对一般和特殊关系的认识。因此备受命题者的青睐，在近几年的高考试题中不断地出现。然而，由于这类问题本身的抽象性和其性质的隐蔽性，大多数学生在解决这类问题时，感到束手无策。下面通过例题来探讨这类问题的求解策略。

例：设y=f(x)是定义在区间〔-1，1〕上的函数，且满足条件：

(i)f(-1)＝f(1)＝0；

(ii)对任意的u,v∈〔-1，1〕，都有—f(u)-f(v)—≤—u-v—。

(Ⅰ)证明：对任意的x∈〔-1，1〕，都有x-1≤f(x)≤1-x；

(Ⅱ)证明：对任意的u,v∈〔-1，1〕，都有—f(u)-f(v)—≤1。

解题：

(Ⅰ)证明：由题设条件可知，当x∈〔-1，1〕时，有f(x)=f(x)-f(1)≤—x-1—=1-x,即x-1≤f(x)≤1-x.

(Ⅱ)证明：对任意的u,v∈〔-1，1〕，当—u-v—≤1时，有—f(u)-f(v)—≤1

当—u-v—>1，u·v<0,不妨设u<0，则v>0且v-u>1,其中v∈(0，1〕，u∈〔-1，0)

要想使已知条件起到作用，须在〔-1，0)上取一点，使之与u配合以利用已知条件，结合f(-1)＝f(1)＝0知，这个点可选-1。同理，须在(0，1〕上取点1，使之与v配合以利用已知条件。所以，—f(u)-f(v)—≤—f(u)-f(-1)—＋—f(v)-f(1)—≤—u+1—+—v-1—=1+u+1-v=2-(v-u)<1

综上可知，对任意的u,v∈〔-1，1〕都有—f(u)-f(v)—≤1.

点评：有关抽象函数问题中往往会给出函数所满足的等式或不等式，因此在解决有关问题时，首先应对所要证明或求解的式子作结构上的变化，使所要证明或求解的问题的结构与已知的相同。如本题未给出函数y=f(x)的解析表达式，而给出了一组特定的对应关系f(-1)=f(1)=0，以及两个变量之差的绝对值不小于对应的函数值之差的绝对值的一般关系。在(1)的证明中，利用f(1)=0,把f(x)改写成—f(x)—＝—f(x)-f(1)—；在(2)的证明中，利用f(-1)＝f(1)＝0，把—f(u)-f(v)—改写成—f(u)-f(v)—≤—f(u)-f(-1)—＋—f(v)-f(1)—，这些变形起了重要的作用，因为是这些变化创造了使用条件的机会，也创造了解决问题的捷径。

另外，有关抽象函数问题中所给的函数性质往往是对定义域内的一切实数都成立的，因此根据题意，将一般问题特殊化，选取适当的特值(如令x=1，y＝0等)，这是解决有关抽象函数问题的非常重要的策略之一。

总之，抽象函数问题求解，用常规方法一般很难奏效，但我们如果能通过对题目的信息分析与研究，用特殊的方法和手段求解，往往会收到事半功倍之功效，同时在运用这些策略时要做到密切配合，相得益彰。

高考数学导数解题技巧?

1.通过选择题和填空题，全面考查函数的基本概念，性质和图象。

2.在解答题的考查中，与函数有关的试题常常是以综合题的形式出现。

3.从数学具有高度抽象性的特点出发，没有忽视对抽象函数的考查。

4.一些省市对函数应用题的考查是与导数的应用结合起来考查的。

5.涌现了一些函数新题型。

6.函数与方程的思想的作用不仅涉及与函数有关的试题，而且对于数列，不等式，解析几何等也需要用函数与方程思想作指导。

7.多项式求导(结合不等式求参数取值范围)，和求斜率(切线方程结合函数求最值)问题。

8.求极值， 函数单调性，应用题，与三角函数或向量结合。

高考数学导数中档题是拿分点?

1.单调性问题

研究函数的单调性问题是导数的一个主要应用，解决单调性、参数的范围等问题，需要解导函数不等式，这类问题常常涉及解含参数的不等式或含参数的不等式的恒成立、能成立、恰成立的求解。由于函数的表达式常常含有参数，所以在研究函数的单调性时要注意对参数的分类讨论和函数的定义域。

2.极值问题

求函数y=f(x)的极值时，要特别注意f'(x0)=0只是函数在x=x0有极值的必要条件，只有当f'(x0)=0且在? _? 0 时，f'(x0)异号，才是函数y=f(x)有极值的充要条件，此外，当函数在x=x0处没有导数时， 在 x=x0处也可能有极值，例如函数 f(x)=|x|在x=0时没有导数，但是，在x=0处，函数f(x)=|x|有极小值。

还要注意的是， 函数在x=x0有极值，必须是x=x0是方程f'(x)=0的根，但不是二重根(或2k重根)，此外，在确定极值点时，要注意，由f'(x)=0所求的驻点是否在函数的定义域内。

3.切线问题

曲线y=f(x)在x=x0处的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)，切线与曲线的综合，可以出现多种变化，在解题时，要抓住切线方程的建立，切线与曲线的位置关系展开推理，发展? 理性思维? 。关于切线方程问题有下列几点要注意：

(1)求切线方程时，要注意直线在某点相切还是切线过某点，因此在求切线方程时，除明确指出某点是切点之外，一定要设出切点，再求切线方程;

(2) 和曲线只有一个公共点的直线不一定是切线，反之，切线不一定和曲线只有一个公共点，因此，切线不一定在曲线的同侧，也可能有的切线穿过曲线;

(3) 两条曲线的公切线有两种可能，一种是有公共切点，这类公切线的特点是在切点的函数值相等，导数值相等;另一种是没有公共切点，这类公切线的特点是分别求出两条曲线的各自切线，这两条切线重合。