导数的应用高考题_导数及其应用高考题

1.导数在生活中的应用例子

应用

1．函数的单调性

(1)利用导数的符号判断函数的增减性　利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合的思想．　一般地，在某个区间(a，b)内，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减．　如果在某个区间内恒有f'(x)=0，则f(x)是常数函数．　注意：在某个区间内，f'(x)>0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件，如f(x)=x3在R内是增函数，但x=0时f'(x)=0。也就是说，如果已知f(x)为增函数，解题时就必须写f'(x)≥0。　(2)求函数单调区间的步骤（1.定义最基础求法2.复合函数单调性)　①确定f(x)的定义域　②求导数　③由（或）解出相应的x的范围．当f'(x)>0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f'(x)<0时，f(x)在相应区间上是减函数．

2．函数的极值

(1)函数的极值的判定　①如果在两侧符号相同，则不是f(x)的极值点　②如果在附近的左右侧符号不同，那么，是极大值或极小值。

3．求函数极值的步骤

①确定函数的定义域　②求导数　③在定义域内求出所有的驻点与导数不存在的点，即求方程及的所有实根　④检查在驻点左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．

4．函数的最值

(1)如果f(x)在[a,b]上的最大值（或最小值）是在(a，b)内一点处取得的，显然这个最大值（或最小值）同时是个极大值（或极小值），它是f(x)在(a，b)内所有的极大值（或极小值）中最大的（或最小的），但是最值也可能在[a，b]的端点a或b处取得，极值与最值是两个不同的概念．　(2)求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤　①求f(x)在(a，b)内的极值　②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

5．生活中的优化问题

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题称为优化问题，优化问题也称为最值问题．解决这些问题具有非常现实的意义．这些问题通常可以转化为数学中的函数问题，进而转化为求函数的最大（小）值问题．

定义

设函数y=f(x)在点x0的某个邻域N(x0,δ)内有定义，当自变量x在x0处有增量△x(设x0+△x∈N(x0,δ))，函数y=f(x)相应的增量为△y=f(x0+△x)-f(x0).　如果当△x→0时，函数的增量△y与自变量的增量△x之比的极限lim △y/△x=lim [f(x0+△x)-f(x0)]/△x存在，则称这个极限值为f(x)在x0处的导数或变化率.通常可以记为f'(x0)或f'(x)|x=x0.

函数的可导性与导函数

一般地，假设一元函数 y=f(x )在 点x0的某个邻域N(x0，δ)内有定义，当自变量取的增量Δx=x-x0时，函数相应增量为 △y=f(x0+△x)-f(x0)，若函数增量△y与自变量增量△x之比当△x→0时的极限存在且有限，就说函数f(x)在x0点可导，并将这个极限称之为f在x0点的导数或变化率。　“点动成线”：若函数f在区间I 的每一点都可导，便得到一个以I为定义域的新函数，记作 f(x)' 或y'，称之为f的导函数，简称为导数.

导数的几何意义

函数y=f（x）在x0点的导数f'（x0）的几何意义：表示函数曲线在P0[x 导数的几何意义

0，f（x0）] 点的切线斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）.

导数在科学上的应用

导数与物理，几何，代数关系密切.在几何中可求切线；在代数中可求瞬时变化率；在物理中可求速度，加速度.　导数亦名纪数、微商（微分中的概念），是由速度变化问题和曲线的切线问题（矢量速度的方向）而抽象出来的数学概念.又称变化率.　如一辆汽车在10小时内走了 600千米，它的平均速度是60千米/小时.但在实际行驶过程中，是有快慢变化的，不都是60千米/小时.为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况，可以缩短时间间隔，设汽车所在位置s与时间t的关系为　s=f（t）　那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间内的平均速度是　[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0]　当 t1与t0很接近时，汽车行驶的快慢变化就不会很大，平均速度就能较好地反映汽车在t0 到 t1这段时间内的运动变化情况 .　自然就把当t1→t0时的极限lim[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0] 作为汽车在时刻t0的瞬时速度，这就是通常所说的速度.这实际上是由平均速度类比到瞬时速度的过程 （如我们驾驶时的限“速” 指瞬时速度）

编辑本段导数是微积分中的重要概念

导数另一个定义：当x=x0时，f'(x0)是一个确定的数。这样，当x变化时，f'(x)便是x的一个函数，我们称他为f(x)的导函数（derivative function），简称导数）.

y=f(x)的导数有时也记作y'，即（如右图） ：　物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如，导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度（就匀速直线加速度运动为例 位移关于时间的一阶导数是瞬时速度 二阶导数是加速度）、可以表示曲线在一点的斜率（矢量速度的方向）、还可以表示经济学中的边际和弹性。　以上说的经典导数定义可以认为是反映局部欧氏空间的函数变化。为了研究更一般的流形上的向量丛截面（比如切向量场）的变化，导数的概念被推广为所谓的“联络”。有了联络，人们就可以研究大范围的几何问题，这是微分几何与物理中最重要的基础概念之一。　注意：1.f'(x)<0是f(x)为减函数的充分不必要条件，不是充要条件。　2．导数为零的点不一定是极值点。当函数为常值函数，没有增减性，即没有极值点。但导数为零。（导数为零的点称之为驻点，如果驻点两侧的导数的符号相反，则该点为极值点，否则为一般的驻点，如y=x^3中f‘(0)=0，x=0的左右导数符号为正，该点为一般驻点。）

编辑本段求导数的方法

(1)利用定义求函数y=f(x)在x0处导数的步骤：　① 求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)　② 求平均变化率

③ 取极限，得导数。　(2)几种常见函数的导数公式：　① C'=0(C为常数函数)　② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q*)；熟记1/X的导数　③ (sinx)' = cosx　(cosx)' = - sinx　(tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2　-(cotx)'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2　(secx)'=tanx·secx　(cscx)'=-cotx·cscx　(arcsinx)'=1/(1-x^2)^1/2　(arccosx)'=-1/(1-x^2)^1/2　(arctanx)'=1/(1+x^2)　(arccotx)'=-1/(1+x^2)　(arcsecx)'=1/(|x|(x^2-1)^1/2)　(arccscx)'=-1/(|x|(x^2-1)^1/2)　④(sinhx)'=coshx　(coshx)'=sinhx　(tanhx)'=1/(coshx)^2=(sechx)^2　(coth)'=-1/(sinhx)^2=-(cschx)^2　(sechx)'=-tanhx·sechx　(cschx)'=-cothx·cschx　(arsinhx)'=1/(x^2+1)^1/2　(arcoshx)'=1/(x^2-1)^1/2　(artanhx)'=1/(x^2-1) (|x|<1)　(arcothx)'=1/(x^2-1) (|x|>1)　(arsechx)'=1/(x(1-x^2)^1/2)　(arcschx)'=1/(x(1+x^2)^1/2)　⑤ (e^x)' = e^x　(a^x)' = （a^x）lna （ln为自然对数）　(Inx)' = 1/x（ln为自然对数）　(logax)' =x^(-1) /lna(a>0且a不等于1)　(x^1/2)'=[2(x^1/2)]^(-1)　(1/x)'=-x^(-2)　补充一下。上面的公式是不可以代常数进去的，只能代函数，新学导数的人往往忽略这一点，造成歧义，要多加注意。关于三角求导“正正余负”（三角包含三角函数，也包含反三角函数正指正弦、正切与正割。）　(3)导数的四则运算法则(和、差、积、商)：　①(u±v)'=u'±v'　②(uv)'=u'v+uv'　③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2　4．复合函数的导数：　复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数--称为链式法则。　5．积分号下的求导法　d(∫f(x,t)dt φ(x),ψ(x))/dx=f(x,ψ(x))ψ'(x)-f(x,φ(x))φ'(x)+∫[f 'x(x,t)dt φ(x),ψ(x)]　导数是微积分的一个重要的支柱。牛顿及莱布尼茨对此做出了卓越的贡献！

编辑本段导数公式及证明

这里将列举五类基本初等函数的导数以及它们的推导过程（初等函数可由之运算来）： 基本导数公式

1.常函数（即常数）y=c(c为常数) y'=0　2.幂函数y=x^n,y'=nx^(n-1)(n∈Q*) 熟记1/X的导数　3．指数函数(1)y=a^x,y'=a^xlna ；(2)熟记y=e^x y'=e^x唯一一个导函数为本身的函数　4．对数函数(1)y=logaX,y'=1/xlna (a>0且a不等于1,x>0) ；熟记y=lnx,y'=1/x　5．正弦函数y=(sinx ）y'=cosx　6．余弦函数y=（cosx） y'=-sinx　7．正切函数y=(tanx） y'=1/(cosx)^2　8．余切函数y=（cotx） y'=-1/(sinx)^2　9．反正弦函数y=（arcsinx） y'=1/√1-x^2　10．反余弦函数y=（arccosx） y'=-1/√1-x^2　11．反正切函数y=（arctanx） y'=1/(1+x^2)　12．反余切函数y=（arccotx） y'=-1/(1+x^2)　为了便于记忆，有人整理出了以下口诀：　常为零，幂降次，对倒数（e为底时直接倒数，a为底时乘以lna），指不变（特别的，自然对数的指数函数完全不变，一般的指数函数须乘以lna）；正变余，余变正，切割方（切函数是相应割函数（切函数的倒数）的平方），割乘切，反分式　在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：　1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]·g'(x)‘f'[g(x)]中g(x）看作整个变量，而g'(x)中把x看作变量’　2．y=u/v,y'=(u'v-uv')/v^2　3． 原函数与反函数导数关系（由三角函数导数推反三角函数的）：y=f(x)的反函数是x=g(y），则有y'=1/x'　证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。用导数的定义做也是一样的：y=c,Δy=c-c=0,limΔx→0Δy/Δx=0。　2．这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况，只能证其为整数Q。主要应用导数定义与N次方差公式。在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。　3．y=a^x,　Δy=a^(x+Δx)-a^x=a^x(a^Δx-1)　Δy/Δx=a^x(a^Δx-1)/Δx　如果直接令Δx→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β=a^Δx-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：Δx=loga(1+β)。　所以(a^Δx-1)/Δx=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β　显然，当Δx→0时，β也是趋向于0的。而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。　把这个结果代入limΔx→0Δy/Δx=limΔx→0a^x(a^Δx-1)/Δx后得到limΔx→0Δy/Δx=a^xlna。　可以知道，当a=e时有y=e^x y'=e^x。　4．y=logax　Δy=loga(x+Δx)-logax=loga(x+Δx)/x=loga[(1+Δx/x)^x]/x　Δy/Δx=loga[(1+Δx/x)^(x/Δx)]/x　因为当Δx→0时，Δx/x趋向于0而x/Δx趋向于∞，所以limΔx→0loga(1+Δx/x)^(x/Δx)=logae,所以有　limΔx→0Δy/Δx=logae/x。　也可以进一步用换底公式　limΔx→0Δy/Δx=logae/x=lne/(x*lna)=1/(x*lna)=(x*lna)^(-1)　可以知道，当a=e时有y=lnx y'=1/x。　这时可以进行y=x^n y'=nx^(n-1)的推导了。因为y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,　所以y'=e^nlnx·(nlnx)'=x^n·n/x=nx^(n-1)。　5.y=sinx　Δy=sin(x+Δx)-sinx=2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)　Δy/Δx=2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/Δx=cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/(Δx/2)　所以limΔx→0Δy/Δx=limΔx→0cos(x+Δx/2)·limΔx→0sin(Δx/2)/(Δx/2)=cosx　6．类似地，可以导出y=cosx y'=-sinx。　7．y=tanx=sinx/cosx　y'=[(sinx)'cosx-sinx(cosx)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x　8．y=cotx=cosx/sinx　y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x　9．y=arcsinx　x=siny　x'=cosy　y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2　10．y=arccosx　x=cosy　x'=-siny　y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2　11．y=arctanx　x=tany　x'=1/cos^2y　y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2　12．y=arccotx　x=coty　x'=-1/sin^2y　y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2　另外在对双曲函数shx,chx,thx等以及反双曲函数arshx,archx,arthx等和其他较复杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与　4．y=u土v,y'=u'土v'　5．y=uv,y=u'v+uv'　均能较快捷地求得结果。　对于y=x^n y'=nx^(n-1) ，y=a^x y'=a^xlna 有更直接的求导方法。　y=x^n　由指数函数定义可知，y>0　等式两边取自然对数　ln y=n*ln x　等式两边对x求导，注意y是y对x的复合函数　y' * (1/y)=n*(1/x)　y'=n*y/x=n* x^n / x=n * x ^ (n-1)　幂函数同理可证　导数说白了它其实就是曲线一点斜率，函数值的变化率　上面说的分母趋于零，这是当然的了，但不要忘了分子也是可能趋于零的，所以两者的比就有可能是某一个数，如果分子趋于某一个数，而不是零的话，那么比值会很大，可以认为是无穷大,也就是我们所说的导数不存在。　x/x,若这里让X趋于零的话，分母是趋于零了，但它们的比值是1,所以极限为1.　建议先去搞懂什么是极限。极限是一个可望不可及的概念，可以很接近它，但永远到不了那个岸.　并且要认识到导数是一个比值。

导数在生活中的应用例子

导数的应用 说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.第Ⅰ卷(选择题 共30分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.设在［0,1］上函数f(x)的图象是连续的,且f′(x)>0,则下列关系一定成立的是A.f(0)<0 B.f(1)>0 C.f(1)>f(0) D.f(1)<f(0)分析:本题主要考查利用函数的导数来研究函数的性质.解:因为f′(x)>0,所以函数f(x)在区间［0,1］上是增函数.又函数f(x)的图象是连续的,所以f(1)>f(0).但f(0)、f(1)与0的大小是不确定的.答案:C2.函数y=xlnx在区间(0，1)上是A. 单调增函数 B. 单调减函数C.在(0， )上是减函数，在( ,1)上是增函数D.在(0， )上是增函数，在( ,1)上是减函数分析：本题主要考查利用求导方法判定函数在给定区间上的单调性.解：y′=lnx+1,当y′>0时，解得x> .又x∈(0,1),∴ <x<1时，函数y=xlnx为单调增函数.同理，由y′<0且x∈(0,1)得0<x< ,此时函数y=xlnx为单调减函数.故应选C.答案：C3.设f′(x)是函数f(x)的导函数,y=f′(x)的图象如下图所示,则y=f(x)的图象最有可能是分析:本题主要考查函数的导数与图象结合处理问题.要求对导数的含义有深刻理解、应用的能力.解:函数的增减性由导数的符号反映出来.由导函数的图象可大略知道函数的图象.由导函数图象知:函数在(－∞,0)上递增,在(0,2)上递减,在(2,+∞)上递增;函数f(x)在x=0处取得极大值,在x=2处取得极小值.答案:C4.已知函数f(x)=3x3－5x+1,则f′(x)是A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数分析：本题考查导数函数的奇偶性.解题的关键是对函数求导,但求导不改变函数的定 义域.解：∵f(x)=3x3－5x+1，∴f′(x)=9x2－5(x∈R). ∵f′(－x)=f′(x)，∴f′(x)是偶函数.答案：B5.若函数y=x3－3bx+3b在(0，1)内有极小值，则A.0<b<1 B.b<1 C.b>0 D.b< 分析：本题主要考查应用导数解决有关极值与参数的范围问题.解：对于可导函数而言，极值点是导数为零的点.因为函数在(0，1)内有极小值，所以极值点在(0，1)上.令y′=3x2－3b=0,得x2=b,显然b>0, ∴x=± .又∵x∈(0,1), ∴0< <1.∴0<b<1.答案：A6.函数y=x3+ 在(0，+∞)上的最小值为A.4 B.5 C.3 D.1分析：本题主要考查应用导数求函数的最值.解：y′=3x2－ ,令y′=3x2－ =0,即x2－ =0,解得x=±1.由于x>0,所以x=1.在(0, +∞)上，由于只有一个极小值，所以它也是最小值，从而函数在(0，+∞)上的最小值为y=f(1)=4.答案：A7.若函数f(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，且x∈(a,b)时,f′(x)>0,又f(a)<0,则A.f(x)在［a,b］上单调递增，且f(b)>0B.f(x)在［a,b］上单调递增，且f(b)<0C.f(x)在［a,b］上单调递减，且f(b)<0D.f(x)在［a,b］上单调递增，但f(b)的符号无法判断分析：本题主要考查函数的导数与单调性的关系.解：若函数f(x)在(a,b)内可导，且x∈(a,b)时,f′(x)>0,则函数在［a,b］内为增函数.∵f(a)<0, ∴f(b)可正可负,也可为零，即f(b)的符号无法判断.答案：D8.已知y= sin2x+sinx+3,那么y′是A.仅有最小值的奇函数 B.既有最大值又有最小值的偶函数C.仅有最大值的偶函数 D.非奇非偶函数分析：本题主要考查导函数的性质.解：y′=( sin2x)′+(sinx)′= (cos2x)(2x)′+cosx=cos2x+cosx.不妨设f(x)=cos2x+cosx，∵f(－x)=cos(－2x)+cos(－x)=cos2x+cosx=f(x), ∴y′为偶函数.又由于y′=2cos2x－1+cosx=2cos2x+cosx－1,令t=cosx(－1≤t≤1),∴y′=2t2+t－1=2(t+ )2－ . ∴y′max=2, y′min=－ .故选B.答案：B9.函数y=ax3－x在(－∞,+∞)上是减函数，则A.a= B.a=1 C.a=2 D.a<0分析：本题考查常见函数的导数及其应用.可以采用解选择题的常用方法——验证法.解:由y′=3ax2－1,当a= 时，y′=x2－1,如果x>1,则y′>0与条件不符.同样可判断a=1,a=2时也不符合题意.当a<0时，y′=3ax2－1恒小于0，则原函数在(－∞,+∞)上是减函数.故选D.答案：D10.已知抛物线y2=2px(p>0)与一个定点M(p,p),则抛物线上与M点的距离最小的点为A.(0,0) B.( ,p) C.( ) D.( )分析:本题考查利用函数的导数求解函数的最值.首先建立关于距离的目标函数关系式,然后合理地选取变量,通过求导数的方法求与最值有关的问题.本题也可以用解析几何中数形结合法求解.解:设抛物线上的任意点(x,y)到点M的距离为d,则有d2=(p－x)2+(p－y)2=(p－ )2+(p－y)2.∴(d2)′=2(p－ )(－ )+2(p－y)(－1)= －2p.令(d2)′y=0,即 －2p=0,解得y= p.这是函数在定义域内的唯一极值点,所以必是最值点.代入抛物线方程得 .所以点( )为所求的点.答案:D第Ⅱ卷(非选择题 共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)11.函数y=sin2x的单调递减区间是__________.分析：本题考查导数在三角问题上的应用.解法一：y′=2sinxcosx=sin2x. 令y′<0,即sin2x<0，∴2kπ－π<2x<2kπ,k∈Z. ∴kπ－ <x<kπ,k∈Z.∴函数y=sin2x的单调递减区间是(kπ－ ,kπ),k∈Z.解法二：y=sin2x=－ cos2x+ ,函数的减区间即cos2x的增区间，由2kπ－π<2x<2kπ, k∈Z,得kπ－ <x<kπ,k∈Z.∴函数y=sin2x的单调递减区间是(kπ－ ,kπ),k∈Z.答案：(kπ－ ,kπ),k∈Z12.设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f(x)g′(x)+f′(x)g(x)>0且g(－3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是__________.分析:本题主要考查导数的运算法则及函数的性质.利用f(x)g(x)构造一个新函数 (x)=f(x)g(x),利用 (x)的性质解决问题.解:设 (x)=f(x)g(x),则 ′(x)=f(x)g′(x)+f′(x)g(x)>0.∴ (x)在(－∞,0)上是增函数且 (－3)=0.又∵f(x)为奇函数,g(x)为偶函数, ∴ (x)=f(x)g(x)为奇函数.∴ (x)在(0,+∞)上也是增函数且 (3)=0.当x<－3时, (x)< (－3)=0,即f(x)g(x)<0;当－3<x<0时, (x)> (－3)=0,即f(x)g(x)>0.同理,当0<x<3时, f(x)g(x)<0;当x>3时,f(x)g(x)>0.∴f(x)g(x)<0的解集为(－∞,－3)∪(0,3).答案:(－∞,－3)∪(0,3)13.有一长为16 m的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_______m2.分析：本题考查如何求函数的最值问题，其关键是建立目标函数.解：设场地的长为x m，则宽为(8－x) m,有S=x(8－x)=－x2+8x,x∈(0,8).令S′=－2x+8=0,得x=4.∵S在(0,8)上只有一个极值点, ∴它必是最值点,即Smax=16.此题也可用配方法、均值不等式法求最值.答案：1614.过曲线y=lnx上的点P的切线平行于直线y= x+2,则点P的坐标是__________.分析：本题考查导数的几何意义.本题可采取逆向思维,构造关于切点横坐标的方程.解：因直线y= x+2的斜率为k= , 又因y=lnx,所以y′= = .所以x=2.将x=2代入曲线y=lnx的方程，得y=ln2. 所以点P的坐标是(2，ln2).答案：(2,ln2)三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题10分)某工厂需要建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，问堆料场的长和宽各为多少时，才能使砌墙所用的材料最省？分析：本题考查如何求函数的最值问题，其关键是建立目标函数.解：要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短.如下图所示，设场地一边长为x m，则另一边长为 m，因此新墙总长度L=2x+ (x>0), 4分L′=2－ .令L′=2－ =0,得x=16或x=－16. 6分∵x>0,∴x=16. 7分∵L在(0,+∞)上只有一个极值点,∴它必是最小值点.∵x=16,∴ =32. 9分故当堆料场的宽为16 m，长为32 m时，可使砌墙所用的材料最省. 10分注：本题也可利用均值不等式求解.16.(本小题12分)已知函数y=ax与y=－ 在区间(0，+∞)上都是减函数，试确定函数y=ax3+bx2+5的单调区间.分析：本题主要考查利用导数确定函数的单调区间.可先由函数y=ax与y=－ 的单调性确定a、b的取值范围，再根据a、b的取值范围去确定函数y=ax3+bx2+5的单调区间.解：∵函数y=ax与y=－ 在区间(0，+∞)上是减函数，∴a<0,b<0. 3分由y=ax3+bx2+5,得y′=3ax2+2bx. 6分令y′>0，即3ax2+2bx>0,∴－ <x<0.因此当x∈(－ ,0)时，函数为增函数; 8分令y′<0,即3ax2+2bx<0,∴x<－ 或x>0. 10分因此当x∈(－∞,－ )时，函数为减函数;x∈(0,+∞)时，函数也为减函数. 12分17.(本小题10分)当x>0时，求证：ex>x+1.分析：本题考查利用导数证明不等式的问题.解题的关键是由导数确定单调区间，由函数在某一区间上的单调性构造不等式求解.证明：不妨设f(x)=ex－x－1, 3分则f′(x)=(ex)′－(x)′=ex－1. 6分∵x>0,∴ex>1,ex－1>0.∴f′(x)>0,即f(x)在(0，+∞)上是增函数. 8分∴f(x)>f(0),即ex－x－1>e0－1=0.∴ex>x+1. 10分18.(本小题10分)如右图,已知曲线C1:y=x3(x≥0)与曲线C2:y=－2x3+3x(x≥0)交于点O、A,直线x=t(0<t<1)与曲线C1、C2分别相交于点B、D.(1)写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系S=f(t);(2)讨论f(t)的单调性,并求f(t)的最大值.分析:本题主要考查如何以四边形的面积为载体构造目标函数、函数的导数、函数的单调性等基础知识,考查运算能力和利用导数研究函数的单调性,从而确定函数的最值.解:(1)解方程组 得交点O、A的坐标分别为(0,0),(1,1). 2分f(t)=S△ABD+S△OBD= |BD|·|1－0|= |BD|= (－2t3+3t－t3)= (－3t3+3t),即f(t)=－ (t3－t)(0<t<1). 4分(2)f′(t)=－ . 6分令f′(t)=－ =0,得 (舍去).当0<t< 时,f′(t)>0,从而f(t)在区间(0, )上是增函数; 8分当 <t<1时,f′(t)<0,从而f(t)在区间( ,1)上是减函数.所以当t= 时,f(t)有最大值f( )= . 10分19.(本小题12分)某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量x(t)与每吨产品的价格p(元/t)之间的关系式为:p=24200－ x2,且生产x t的成本为:R=50000+200x(元).问该产品每月生产多少吨才能使利润达到最大?最大利润是多少?(利润=收入－成本)分析:本题主要考查利用导数求函数的最值.根据题意,列出函数关系式,求导求解.解:每月生产x吨时的利润为f(x)=(24200－ x2)x－(50000+200x)=－ x3+24000x－50000(x≥0). 4分由f′(x)=－ x2+24000=0,解得x1=200,x2=－200(舍去). 8分∵f(x)在［0,+∞)内只有一个点x1=200使f′(x)=0,∴它就是最大值点.f(x)的最大值为f(200)=3150000(元).∴每月生产200 t才能使利润达到最大,最大利润是315万元. 12分

1．函数的单调性

(1)利用导数的符号判断函数的增减性　利用导数的符号判断函数的增减性,这是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用,它充分体现了数形结合的思想．　一般地,在某个区间(a,b)内,如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增。

如果f'(x)0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件,而不是必要条件,如f(x)=x3在R内是增函数,但x=0时f'(x)=0.也就是说,如果已知f(x)为增函数,解题时就必须写f'(x)≥0.　(2)求函数单调区间的步骤（1.定义最基础求法2.复合函数单调性)

①确定f(x)的定义域　②求导数　③由（或）解出相应的x的范围．当f'(x)>0时,f(x)在相应区间上是增函数；当f'(x)0且a不等于1,x>0) ；熟记y=lnx,y'=1/x　5．正弦函数y=(sinx ）y'=cosx

6．余弦函数y=（cosx） y'=-sinx　7．正切函数y=(tanx） y'=1/(cosx)^2　8．余切函数y=（cotx） y'=-1/(sinx)^2　9．反正弦函数y=（arcsinx） y'=1/√1-x^2　10．反余弦函数y=（arccosx） y'=-1/√1-x^2　

11．反正切函数y=（arctanx） y'=1/(1+x^2)　12．反余切函数y=（arccotx） y'=-1/(1+x^2)　

为了便于记忆,有人整理出了以下口诀：　常为零,幂降次,对倒数（e为底时直接倒数,a为底时乘以lna）,指不变（特别的,自然对数的指数函数完全不变,一般的指数函数须乘以lna）；正变余,余变正,切割方（切函数是相应割函数（切函数的倒数）的平方）,割乘切,反分式